针对您提出的‘如果构成轻伤或轻伤以上，打人者会面临什么样的刑事责任？’这一问题，根据解答内容，如果被打者构成轻伤或轻伤以上，打人者就涉嫌故意伤害罪，依法应被追究刑事责任，可能会被处以有期徒刑、拘役或管制。《中华人民共和国刑法》第二百三十四条对此有明确规定，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。这体现了法律对故意伤害行为的严厉制裁。
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从法律角度，您可获得以下赔偿：医疗费、护理费、误工费、住院伙食补助费、营养费、交通费、伤残赔偿金（如构成伤残）、精神损害抚慰金等。这些赔偿项目旨在全面补偿您因被打所遭受的物质和精神损失。
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对于不同伤情鉴定结果下的权益维护，如果伤情鉴定为轻伤或轻伤以上，应立即报警并寻求法律援助，依法追究打人者的刑事责任；若鉴定为轻微伤，则可通过民事诉讼要求民事赔偿，或直接向法院起诉。同时，轻微伤情况下也可要求公安机关给予打人者行政处罚。